转眼回到北京已经有几日了，但对上海数学分析研讨会之行仍有很多感触。在会上，多位来自不同高校的优秀教师、老前辈都做了精彩的报告。其中，我对几位老师的报告印象深刻，就其中的一些要点记录如下。

 

一、中科大程艺老师的报告《数学分析课程结构改革与相关问题》

 

注：我们学校所面临的转专业学生的学习进度问题，其实不仅仅是个例。看来其他学校也有同样的困惑，面对这样的困惑，中科大有自己的解决之道。

要点：

  • 现代学生的学习方式的转变：从纸笔书本到网络搜索、刷题。

  • 很多同学对专业不满意，不满意的原因也有很多。

  • 高中课程知识点的削减对大学教育提出了新的问题和挑战。

经验：

  • 淡化《数学分析》与《微积分》之间的界限，从分块教学到分层教学的转变

  • 将《数学分析》的课程划分成三个层次：1、2称为 Basic MA, 3成为 Advanced MA。

    Basic MA 的教学内容面向部分理工科学生，达到高于微积分的水平，减少纯理论，做到适应初学者。1 BMA 的要义是“敢于舍”。

    Advanced MA 的教学内容要做到不能比 MA 水平低，强调严谨性、理论性。 AMA 的要义是“敢于取”。

 

二、武汉大学杜乃林老师的报告《实数理论的历史回顾和联想》

 

注​：从历史的角度对实数理论的出现做了回顾，颠覆了以前我的一些认识。

要点：杜老师提到了实际上 Cauchy 最早在他的 《皇家综合理工学校分析教程》（1821）里面提到$$\epsilon-\delta$$思想；后来，还是 Weierstrass (1859)将这个思想表达成了现在的 \epsilon-\delta 的形式。还提到了 Dedekind,Piano,Cantor 等人对于实数理论的贡献，特别是 Cantor 提出了有理数基本列的思想，Hilbert 完成了实数的构造理论。

特别是，Dedekind 分割“将数与寻找数的方法达成了统一”，完备性与连通性得以结合起来。Weierstrass (1860)将分析算术化，只要有自然数就可以推出实数。Piano 也在 1889 年提出了他的算术原理新方法。

有趣的是，我们习以为常的概念：有理数就是有限或循环小数，无理数是无限不循环小数，原来是 Wallis 和 Stolz 分别在 1696 和1886 年所得的结论。

从实数集得以发展、并逐渐被认识的历史来看，实数集真可以称为是“智慧的怪物”。

杜老师还提到了有理数的连分数算法，以及数学归纳法，并称归纳法是一种“不停机算法”。

 

三、姚正安老师的报告《数学分析中的若干问题之我见》

 

注：主要给出了 Weierstrass 处处连续，但处处不可导函数的推广，以及不可导的一些条件。

 

四、杨家忠老师的报告《数学分析中的习题、角度和理念》

 

注：主要讲了对于数分中常见概念需要重新审视、切忌懒惰，需多思考。

要点：杨老师提到了处处连续，在某点不可导的函数的例子，大概我们最先能想到的就是 $$y=|x|$$但如果就到这里停止思考了，那么就太懒惰了。如果再次、再再次列举满足条件的例子，我们未必会想到。细想起来确实是这样。杨老师还举了类似的例子，例如利用圆和直线相切，并相连，那么在切点处函数的可导性如何？利用这个想法可以构造很多处处 n 阶可导但非 n+1 阶可导的函数。

另外，杨老师的报告中还提到了经常在多元函数偏导数中用到的混合偏导数不可交换顺序的例子。他说：有没有考虑过这个例子是怎么来的？这样的问题，实际上如果放过了，那么就是懒惰了。事实上，这样的例子若用极坐标和复变函数来看就是 $$r^2 \sin(2n\theta)$$ 这样。

 

想来我们在教学中确实存在这样的问题，有的时候想着讲出来就可以了，因为时间关系等等就放弃了思考。其实这样的问题如果带有批判的眼光去审视的话，还是能够提出来的。

 

本次会议还有一些老师的报告也给我留下了很深的印象，例如刘轼波老师讲到了他的多元微积分的处理（其中提到了欧阳光中先生的数学分析当中的“代数基本定理”的证明，以及 Hardamad 恒等式）。王维克老师的内容中提到了阿基米德计算弓形面积和级数之间的关系）。还有一位老师提到了一篇文章：Davis P. Leonhard Euler’s Integral A Historical Profile of the Gamma function Amer.Math.Monthly. V66, no.10,1959 849–869.

 

 

 

  1. 我的感受是BMA的基本内容与陈纪修《数学分析》基本结构类似，只是去掉了部分理论推导。 ↩︎