[mathjax]
几天前，小木虫 上有人提问这样一个问题：
在一个有界闭区间 (例如[0,1]) 上连续的凸函数其不可微点构成的集合是否可能没有内点？
由于连续的凸函数在有界闭区间的每个点上至少存在左右导数，也就是说，连续凸函数的导函数至多只有第一类间断点。并且，由凸函数的性质，我们还能证明凸函数的导函数一定是单调函数。因此，要回答上述问题，我们只需要说明：
是否存在这样的单调函数，它的间断点的集合在有界闭区间上稠密？
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事实上，这样的单调函数是存在的。经过一番搜索，我发现前人已经研究过类似的问题，其结论是：
对于任意可列集 ({a_k}_{k\in\mathbb{N}}), 都能找到一个单调函数 (F(x))，使得 (F(x)) 以 (a_k) 为其间断点。
构造方法很简单，只要令：[ F(x) = \sum_{a_k < x} \frac{1}{r^k} ] 即可，其中(r)是一个大于1的常数。证明 (F(x)) 是单调函数，并且以 (a_k) 为间断点，可以参考
下面，以 [0,1] 中的有理数集为对象，我给出函数 (F(x)) 的大致图像:
[caption id=“attachment_165” align=“aligncenter” width=“300”]
在 [0,1] 中有理数集上间断的单调函数[/caption]
为画出这样的图像，我们使用了 Mathematica. 其关键是不重复地列出所有 [0,1] 中分母小于 (n) 的有理数，并对于 (a_k < x) 的 (k) 求和。为此，我们使用了 Table 命令来创建有理数列表，并用 Total 命令对于 (\frac{1}{r^k}) 的列表进行加和，代码如下：
`
n = 20; r = 1.05;
a = DeleteDuplicates[Flatten[Table[Table[i/j, {i, j}], {j, n}]]];
F[x_] := Total[Table[If[a[[i]] < x, 1/r^i, 0], {i, Length[a]}]];
Plot[F[x], {x, 0, 1}]
`
注意，Flatten 命令的目的是把多层列表（nested list）转化为一普通列表，而 DeleteDuplicates 的作用是去掉列表中的重复项。Mathematica 中，取列表中第 i 号元素的方式是两层中括号 a[[i]]。Mathematica 中对于列表的处理是异常强大的，大家可以慢慢体会它的强大与灵活。