一. 背景介绍
设计3D打印机的热床时,热床的升温能力关乎着打印的成功与否。过低的温度会造成打印件翘曲,导致打印失败。因此,热床是否能升温到所需温度,是一个重要的问题。以前,在做打印机时,我经常使用 Tom 在早年视频中提到的经验公式。即要使热床能升温到 100 度的话,至少要达到每平方厘米 0.6 瓦的加热功率。使用这个原则倒是没出现过什么问题,我做的打印机一般都能升温到 100 度甚至更高。
显然,提高功率会使升温更加轻松,但过高的功率又对电源产生较大的负载,甚至有时需要更换更大功率的电源。整体功率的增加又势必造成能耗的提升,想想一台中等大小的3D 打印机的电源功率都要近300瓦,对于电能的消耗确实是非常客观的。
所以,能否通过理论计算,设计合理的热床功率呢?应用微积分,这个问题或许能够轻松解决了呢!
二. 理论推导
以下部分,需要用到一点物理学知识。
2.1 Newton 冷却定律
Newton 得到的经验定律,论述为一个物体在冷却时的温度变化与它与周围环境的温度差成比例。设比例系数为
其中
从公式 (1),可以得到没有热源的情况下,从
若考虑散热功率和表面积,有如下Newton散热公式
其中
所以,从 (2) 可见,若能观察温度曲线的变化,就可以大致推测出
2.2 公式 (2) 和 (3) 的关系
假设物体的平均比热(specific heat)为
从 (4) 中消去
对比冷却定律的简单形式 (1),我们得到
故散热能力
2.3 热能的输入和输出
下文将考虑一般的平均比热为
显然,热源输入到物体的功率为
所以,我们得到如下公式
消去
假设输入功率
假设是从
2.4 对温度公式 (6) 的分析
显然,温度公式 (6) 告诉我们在功率一定的前提下,加热温度具有极限,且极限仅与环境温度
对于3D打印机的热床,其结构基本上是一片大电阻。如果使用 Bangbang 控制的话,当加热时功率是一定的,知道散热系数
三. 实际分析
3.1 对 Ender3 Pro 的分析(铝基板+玻璃热床)
以下的图表为 Ender3 Pro 一段打印结束后,打印机的喷头,热床的降温曲线。
可以从图中看到,在大约 -12 分钟时,热床停止了加热。在停止加热后, -12 至 -4 分钟范围内,热床(蓝色曲线)指示的温度从110度降到了 69 度。设环境温度为20度,则利用牛顿冷却定律,我们可以计算出
Ender3 Pro 的热床材料主要为铝基板和上层的玻璃。通过查阅维基百科,结合 End3 Pro 的实际参数,计算得到如下数据。
材料 | 密度 ( |
比热(specific heat |
面积( |
厚度( |
质量( |
---|---|---|---|---|---|
铝基板 | 2.7 | 0.897 | 0.4 | 596.43 | |
不锈钢板 | 2.5 | 0.840 | 0.4 | 552.25 |
所以,
由 (5) 进一步计算可知
3.1.1 升温的实际计算
若 Ender3 Pro 的热床功率为 200瓦,则公式 (7) 给出的理论极限温度为
按照现有公式计算,200 瓦功率的热床在20度室温情况下的升温曲线如下图所示:在5分钟,10分钟范围内,将把热床分别加热到 69.9 和 104 度。要升温到 110度则需要 11 分钟。
实际加热的结果如下图所示:
可以发现,蓝色实线代表热床的升温曲线,从约-10min 开始加热,加热开始的时候的室温略低于上述计算时使用的温度 (约为18度),加热到 105度时大概是当前时间,故总用时大约为10分钟,与之前的计算还是十分吻合的。
3.2 对 CompactXY 的分析 (碳纤维板+弹簧钢热床)
CompactXY 将热床升温至 100 度后,关闭热床热源的加热,其降温曲线如下图所示。
可以从图中看到,在大约 -10分钟时,热床停止了加热。在停止加热后, -10 至 0分钟范围内,热床(蓝色曲线)指示的温度从100度降到了 40 度。设环境温度为21度,则利用牛顿冷却定律,我们可以计算出
通过查询网上资料,结合 CompactXY 的实际参数,计算得到如下数据
材料 | 密度 ( |
比热(specific heat |
面积( |
厚度( |
质量( |
---|---|---|---|---|---|
碳纤维板 | 2 | 1.075 |
0.4 | 107.616 | |
不锈钢板 | 7.87 | 0.466 | 0.05 | 52.934 |
所以,
3.2.1 升温的实际计算
若 CompactXY 的热床功率为 80瓦,则公式 (7) 给出的理论极限温度为
按照现有公式计算,80 瓦功率的热床在20度室温情况下的升温曲线如下图所示:在1.5分钟,3分钟范围内,将把热床分别加热到 66 和 103 度。根据以上数据,绘制出理论的升温曲线,使用时间单位为分钟,见下图。
实际的升温曲线如下图所示:
可见,实际从室温升高到 100 度所需的时间约为 3 分钟,与升温曲线所示的结果比较吻合。
3.3 有关于经验公式
利用极限温度公式 (7)
得到
可见,极限温度基本上与所需功率密度呈线性关系。以 Ender3 Pro 的热床为例,当极限温度是 120度,室温为20度时,最小功率密度约为
但是,考虑到极限温度是必须经历无穷长的时间才能达到的。现实中我们不可能等待那么久。比较合理的升温等待时间也许是 5-10 分钟。若按 8 分钟计算,我们可以得到一个更合理的功率/面积比值。利用公式 (6),有
看来,经验公式还是比较可信的。因此,合理的 Ender3 Pro 热床功率应约为 280 瓦。
3.4 两种热床加热效率的横向比较
我们假设两种热床的
其中,
四. 总结
基于微积分的基本规律和 Newton 冷却定律,我们得到了热床功率和实际升温关系的公式 (6) 和 (7)。我们验证了Tom 早期在视频中提到的经验结论,即每平方厘米 0.6 瓦的功率。但我们对经验结论有不同的解释:此功率可以保证热床在可以接受的时间内升温到100度。我们用升温公式,分析了两种热床的升温情况,得到的升温时间基本与实际情况吻合。这些实际计算的基础都是需要观测并利用公式 (2) 计算出
若增加保温材料,则会减小
这样的问题可以今后继续研究。
参考材料
[1] Newton’s law of cooling - Wikipedia
[2]
Cp showed a linear dependence on temperature where the Cp values were around ~0.85 J/(gr·K) at 25 °C and ~1.30 J/(gr·K) at 200 °C