之前为了讲通识课，精心准备了一个名为「在不可能与显然之间」的报告。报告的内容选取了数学中的一些事例，来说明数学为什么有趣，为什么令人惊叹。其中引用了前苏联数学家 Andrei Kolmogorov 的一句

Mathematics occurs on the boundary between the obvious and the impossible.

其实，这句话也是这个报告标题的灵感来源。

在报告中，我选取的其中一个实例就是 Galois 关于高次代数方程（次数大于等于5）时没有根式解法的证明，用以说明伟大的思想确实可以把不可能变成显然。之所以选这个实例，也是因为自己从没对 Galois 的思想有过大致的了解。想借这个机会好好了解一下。

为了不会以后忘却，趁着报告过去的时间不长，我觉得还是有必要把当时讲的内容记录一下。

所以，我们将要考虑的问题是如下代数方程： $$ x^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots + a_1 x + a_0 = 0 $$ 的解能否通过对系数 $a_i$ 进行有限次四则运算和开方运算表示出来? 让我们来先看几个例子。

二次代数方程的情况

我们中学的时候都学过，二次代数方程 $$ x^2+a_1 x + a_0 = 0 $$

的解是可以这样表示出来的: $$ x_{1,2}=\frac{-a_1\pm \sqrt{a_1^2-4a_0}}{2} $$

三次代数方程的情况

对于三次多项式 $$ x^3+a_2 x^2 + a_1 x + a_0 = 0 $$ 来说，其求根公式也可以用如下的方法给出：

  • 首先通过变量替换 $z=x-\frac{a_2}{3}$ 消去二次项，得到如下标准形式的三次多项式 $$ z^3 + \frac{3a_1-a_2^2}{3} z - \frac{9a_1 a_2-27 a_0 - 2a_2^3}{27}=0 $$

    即如下形式 $$ z^3+pz = q. $$

  • 利用伟达变换 $z=w-\frac{p}{3w}$ 将上述方程变成二次方程: $$ (w^3)^2 - q(w^3) - \frac1{27}p^3=0. $$ 从而可以解出 w $$ w = \sqrt[3]{\frac12 q \pm \sqrt{\frac14 q^2 + \frac1{27} p^3}} $$

  • 最后反解出 z 以及 x.

对于四次代数方程，也有相应的求根公式（由 Ferrari 提出，后发表在 Cardano 的 Ars Magna (1545))。

五次及以上的代数方程，为何不存在一般的根式解法？

Galois 的想法是这样的1。假设 $n\geq5$ 次的方程写成

$$ x^n + a_{n-1}x^{n-1} + \cdots + a_1 x + a_0 = 0 $$

设其所有的解为 $x_1, x_2, \cdots, x_n$, 则

$$ x^n + a_{n-1}x^{n-1}+\cdots + a_1 x + a_0 = (x-x_1)(x-x_2)\cdots (x-x_n)=0 $$

注意到，上式说明 $a_0, a_1,\cdots, a_n$ 实际上都是 $x_1,x_2,\cdots,x_n$ 的对称多项式

$$a_{n-1} = - (x_1 + x_2 + \cdots + x_n), $$

$$\cdots$$

$$a_0 = \pm x_1 x_2 \cdots x_n.$$

因此，若将置换群 $S_n$ 作用在方程的根上，系数 $a_i$ 等应保持不变。现在，假设所有的解都可以用系数 $a_i$ 的四则运算和根式表达出来。我们

  • 记 $\mathbb{Q}(a_0,…,a_{n-1})$ 为对系数 $a_i$ 进行四则运算能够得到的所有数构成的集合（这个集合会对加减乘除封闭，数学上，我们把这样的集合称为一个域。
  • 记 $\mathbb{Q}(x_1,\cdots,x_n)$ 为对方程的所有根进行四则运算能够得到的数的集合（也是一个域）。
  • 记 $E$ 为对系数 $a_i$ 及其必要的根式进行四则运算能够得到的数的集合（域）。
  • 记 $\overline{E}$ 为对 $E$ 中元素再进行下标的置换能够得到的所有数所构成的集合（域）。

例如：对二次多项式 $x^2 + a_1 x + a_0 = 0$，

事实上，$E$ 中已经包含了 $x_1,x_2$：$x_{1,2}=\frac12 a_1 \pm \frac12 \sqrt{a_1^2-4a_0}$.

若所有的解都能用系数表达，那么我们可以得到如下包含关系

注意，第二个包含关系成立是由假设条件推出的。第二点要注意的是，在根的置换操作（群 $S_n$ 的作用下），$B$ 和 $\overline{E}$ 是保持不变的。我们定义所有保持 $B$ 不变的 $\overline{E}$ 的操作构成一个群，记为 $ \mathrm{Gal}\left(\overline{E}/B\right) $

则显然应该有 $S_n\subset \mathrm{Gal}\left(\overline{E}/B\right)$.

不巧的是， $\mathrm{Gal}\left(\overline{E}/B\right)$ 是一个可解群（即这些操作可以通过对依次添加进来的新的根式进行置换而得到），而当 $n\geq5$ 时，$S_n$ 不是可解群，从而产生了矛盾！

结论

简而言之，对称性是解决高次代数方程求根问题的关键，Galois 正是洞察到了这一点！

  1. Stillwell, Galois theory for beginners. ↩︎