之前为了讲通识课,精心准备了一个名为「在不可能与显然之间」的报告。报告的内容选取了数学中的一些事例,来说明数学为什么有趣,为什么令人惊叹。其中引用了前苏联数学家 Andrei Kolmogorov 的一句
Mathematics occurs on the boundary between the obvious and the impossible.
其实,这句话也是这个报告标题的灵感来源。
在报告中,我选取的其中一个实例就是 Galois 关于高次代数方程(次数大于等于5)时没有根式解法的证明,用以说明伟大的思想确实可以把不可能变成显然。之所以选这个实例,也是因为自己从没对 Galois 的思想有过大致的了解。想借这个机会好好了解一下。
为了不会以后忘却,趁着报告过去的时间不长,我觉得还是有必要把当时讲的内容记录一下。
所以,我们将要考虑的问题是如下代数方程:
二次代数方程的情况
我们中学的时候都学过,二次代数方程
的解是可以这样表示出来的:
三次代数方程的情况
对于三次多项式
-
首先通过变量替换
消去二次项,得到如下标准形式的三次多项式即如下形式
-
利用伟达变换
将上述方程变成二次方程: 从而可以解出 w -
最后反解出 z 以及 x.
对于四次代数方程,也有相应的求根公式(由 Ferrari 提出,后发表在 Cardano 的 Ars Magna (1545))。
五次及以上的代数方程,为何不存在一般的根式解法?
Galois 的想法是这样的1。假设
设其所有的解为
注意到,上式说明
因此,若将置换群
- 记
为对系数 进行四则运算能够得到的所有数构成的集合(这个集合会对加减乘除封闭,数学上,我们把这样的集合称为一个域。 - 记
为对方程的所有根进行四则运算能够得到的数的集合(也是一个域)。 - 记
为对系数 及其必要的根式进行四则运算能够得到的数的集合(域)。 - 记
为对 中元素再进行下标的置换能够得到的所有数所构成的集合(域)。
例如:对二次多项式
事实上,
若所有的解都能用系数表达,那么我们可以得到如下包含关系
注意,第二个包含关系成立是由假设条件推出的。第二点要注意的是,在根的置换操作(群
则显然应该有
不巧的是,
结论
简而言之,对称性是解决高次代数方程求根问题的关键,Galois 正是洞察到了这一点!
-
Stillwell, Galois theory for beginners. ↩︎