之前为了讲通识课,精心准备了一个名为「在不可能与显然之间」的报告。报告的内容选取了数学中的一些事例,来说明数学为什么有趣,为什么令人惊叹。其中引用了前苏联数学家 Andrei Kolmogorov 的一句

Mathematics occurs on the boundary between the obvious and the impossible.

其实,这句话也是这个报告标题的灵感来源。

在报告中,我选取的其中一个实例就是 Galois 关于高次代数方程(次数大于等于5)时没有根式解法的证明,用以说明伟大的思想确实可以把不可能变成显然。之所以选这个实例,也是因为自己从没对 Galois 的思想有过大致的了解。想借这个机会好好了解一下。

为了不会以后忘却,趁着报告过去的时间不长,我觉得还是有必要把当时讲的内容记录一下。

所以,我们将要考虑的问题是如下代数方程: xn+an1xn1++a1x+a0=0 的解能否通过对系数 ai 进行有限次四则运算和开方运算表示出来? 让我们来先看几个例子。

二次代数方程的情况

我们中学的时候都学过,二次代数方程 x2+a1x+a0=0

的解是可以这样表示出来的: x1,2=a1±a124a02

三次代数方程的情况

对于三次多项式 x3+a2x2+a1x+a0=0 来说,其求根公式也可以用如下的方法给出:

  • 首先通过变量替换 z=xa23 消去二次项,得到如下标准形式的三次多项式 z3+3a1a223z9a1a227a02a2327=0

    即如下形式 z3+pz=q.

  • 利用伟达变换 z=wp3w 将上述方程变成二次方程: (w3)2q(w3)127p3=0. 从而可以解出 w w=12q±14q2+127p33

  • 最后反解出 z 以及 x.

对于四次代数方程,也有相应的求根公式(由 Ferrari 提出,后发表在 Cardano 的 Ars Magna (1545))。

五次及以上的代数方程,为何不存在一般的根式解法?

Galois 的想法是这样的1。假设 n5 次的方程写成

xn+an1xn1++a1x+a0=0

设其所有的解为 x1,x2,,xn, 则

xn+an1xn1++a1x+a0=(xx1)(xx2)(xxn)=0

注意到,上式说明 a0,a1,,an 实际上都是 x1,x2,,xn 的对称多项式

an1=(x1+x2++xn),

a0=±x1x2xn.

因此,若将置换群 Sn 作用在方程的根上,系数 ai 等应保持不变。现在,假设所有的解都可以用系数 ai四则运算根式表达出来。我们

  • Q(a0,,an1) 为对系数 ai 进行四则运算能够得到的所有数构成的集合(这个集合会对加减乘除封闭,数学上,我们把这样的集合称为一个
  • Q(x1,,xn) 为对方程的所有根进行四则运算能够得到的数的集合(也是一个域)。
  • E 为对系数 ai 及其必要的根式进行四则运算能够得到的数的集合(域)。
  • E 为对 E 中元素再进行下标的置换能够得到的所有数所构成的集合(域)。

例如:对二次多项式 x2+a1x+a0=0

事实上,E 中已经包含了 x1,x2x1,2=12a1±12a124a0.

若所有的解都能用系数表达,那么我们可以得到如下包含关系

注意,第二个包含关系成立是由假设条件推出的。第二点要注意的是,在根的置换操作(群 Sn 的作用下),BE 是保持不变的。我们定义所有保持 B 不变的 E 的操作构成一个群,记为 Gal(E/B)

则显然应该有 SnGal(E/B).

不巧的是, Gal(E/B) 是一个可解群(即这些操作可以通过对依次添加进来的新的根式进行置换而得到),而当 n5 时,Sn 不是可解群,从而产生了矛盾!

结论

简而言之,对称性是解决高次代数方程求根问题的关键,Galois 正是洞察到了这一点!


  1. Stillwell, Galois theory for beginners. ↩︎