多项式不等式以及数学软件GUI前端

[mathjax]

看了一眼今天的 wedget。真罕见，北京本周的天气居然和戴维斯当地的天气情况做了个置换。以往戴维斯都是晴空万里的，这次换北京了。

今天看到了 @goldengrape 的光学视频，知道了球面镜是无法汇聚平行光的。遂徒手制作了一个演示用的 Grapher 文件，见 http://d.pr/f/8CaN。

还看见一条推：如果一个多项式 (p(x)) 的所有根全为实数的话，那么必有 (p'(x)^2 \ge p(x) p''(x))。证明嘛~~我只会假设 (p(x)) 的根为 (\alpha_1,\dots,\alpha_n)，写出 (p(x)) 的表达式 [p(x)=c \prod_{i=1}^n (x-\alpha_i).]然后 (p'(x)) 与 (p''(x)) 的表达式便都可以给出。这时，要证明的不等式就等价于[\left[\sum \frac{p(x)}{(x-\alpha_i)}\right]^2 \ge p(x) \sum_i\sum_{j\neq i} \frac{p(x)}{(x-\alpha_i)(x-\alpha_j)}.] 然后，就没有然后了！显然成立。

这个性质我总觉的有其他的证明方法，例如使用 Lagrange 中值定理，只是我现在只能想到这一种方法。

这两天我在设计一个数学软件 FriCAS，或者 SageMath 的 GUI 前端。因为我觉得现有的前端都太不适合做很长篇幅的计算问题了（通过我在研究留数问题时的体会，得出结论：当时的 Mathematica 代码，虽然有很好的注解，但是时间长了以后还是很难明白当时代码的意图）。另外，做一个优雅的前端有助于提高学习 FriCAS 或者 Sagemath 的兴趣。毕竟目前没有人搞过这些东西。

好了，这就是今天的记录。还有其他一些关于科研的想法，留到以后再说吧！继续 coding 了。